Задачник по интегральному исчислению

Содержание статьи:
  • ВГУЭС. Сборник задач по высшей математике: Глава 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ »
  • Архив выполненных нами задач по высшей математике за апрель
  • Интегральное исчисление
  • - М.: Наука, 1970, - 400 с.
  • Крамп предел У. Гамильтон многие математики начало XX в. Эйлер Знаки отношений равенство Р. Рекорд больше меньше Т. Гарриот сравнимость К. Гаусс параллельность У. Оутред перпендикулярность П. Эригон Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики.

    Важнейшие из них — физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур см.

    Геометрические задачи на экстремум.

    Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

    В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием. В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

    Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. Такая функция называется первообразной функции. Значит, обратная дифференцированию операция — неопределенное интегрирование — состоит в отыскании первообразной данной функции.

    Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию — производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

    Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется. Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

    Это так называемый неопределенный интеграл. Например, на всей числовой оси ; ;. Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения 1 для неопределенного интеграла: Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла: Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

    Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола.

    Отметим теперь, что между операцией нахождения производной дифференцированием и операцией отыскания первообразной неопределенным интегрированием имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, то есть является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной.

    Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования.

    По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций: Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

    Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского примерно до н.

    Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Если бы был известен закон движения, то есть зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью.

    Будем рассуждать следующим образом. В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где. Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению: Равенство 7 называется формулой Ньютона-Лейбница.

    ВГУЭС. Сборник задач по высшей математике: Глава 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ »

    Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл 6 и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

    Интеграл 6 и формула 7 в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью.

    В списке его трудов более названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ — первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

    Семинар: Простейшие неопределенные интегралы. Решение задач

    В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

    Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами.

    Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

    В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку — топологию.

    Архив выполненных нами задач по высшей математике за апрель

    Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин В , ребер Р и граней Г выпуклого многогранника: Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить.

    Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами.

    У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой.

    Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения.

    Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы.


    1. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах.
    2. .
    3. гдз по обществознанию 6 класс боголюбова учебник ответы.
    4. Интегральное исчисление, решения интегралов, вычисление интегралов.!
    5. гдз по математике 2 класс учебника 2 часть.

    Выкладываем выполненные нами на заказ задачи по физике за апрель месяц. Задачи можно скачать абсолютно бесплатно. Каждый месяц будем выкладывать новые архивы. Возможно эти задачи помогут вам разобраться с решением ваших задач или послужат вам в других целях. Выкладываем наработки нашего автора по химии. Это пробные задания, которые служат для оценки качества его работы.

    Архив выполненных нами задач по высшей математике за апрель Выкладываю готовые задачи по высшей математике решенные нами на заказ за апрель месяц.

    Архив решенных нами задач по физике за апрель Выкладываем выполненные нами на заказ задачи по физике за апрель месяц. Архив задачпо химии за апрель Выкладываем наработки нашего автора по химии.

    Курсовой по Деталям машин Выкладываю пример выполнения работы по деталям машин, со временем выложу еще несколько. Готовые задачи по высшей математике решенные нами за октябрь , качаем бесплатно.

    Работы по деталям машин выполненные нами за октябрь Скачать бесплатно. Задачки по физике за октябрь решенные нами, качаем бесплатно. Задачки по химии за октябрь качаем, оцениваем. Выкладываю готовые задачи по физике за ноябрь-декабрь Все задачи не выкладываю - получился бы большой архив.

    Несколько задачек по химии за январь Решенные нами задачи по химии январь Скачать бесплатно. Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

    Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Отметим теперь, что между операцией нахождения производной дифференцированием и операцией отыскания первообразной неопределенным интегрированием имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий.

    ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

    В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, то есть является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной.

    Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций.

    Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций: Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

    Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова.

    Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского примерно до н. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Если бы был известен закон движения, то есть зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью.

    Будем рассуждать следующим образом. В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где. Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению: Равенство 7 называется формулой Ньютона-Лейбница.

    Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл 6 и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

    Интеграл 6 и формула 7 в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью.

    В списке его трудов более названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ — первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

    В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия. Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути.

    Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами.

    Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

    В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку — топологию. Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин В , ребер Р и граней Г выпуклого многогранника: Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить.

    Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

    Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца.

    Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

    Выкладываю готовые задачи по физике за ноябрь-декабрь Все задачи не выкладываю - получился бы большой архив. Несколько задачек по химии за январь Решенные нами задачи по химии январь Скачать бесплатно. Работы с нашего сайта по информатике за январь качаем бесплатно - оцениваем качество!

    Готовые задачи по химии за февраль - март г Готовые задачи по химии скачать бесплатно Скачать бесплатно. Скачать бесплатно Архив решенных нами задач по физике за апрель Выкладываем выполненные нами на заказ задачи по физике за апрель месяц.

    Скачать бесплатно Архив задачпо химии за апрель Выкладываем наработки нашего автора по химии. Скачать бесплатно Курсовой по Деталям машин Выкладываю пример выполнения работы по деталям машин, со временем выложу еще несколько. Скачать бесплатно Готовые задачи по высшей математике решенные нами за октябрь , качаем бесплатно.

    Скачать бесплатно Работы по деталям машин выполненные нами за октябрь Скачать бесплатно Задачки по физике за октябрь решенные нами, качаем бесплатно. Скачать бесплатно Задачки по химии за октябрь качаем, оцениваем.

    Интегральное исчисление

    Скачать бесплатно задачки по физике январь Часть задач по физике решенных за январь , качаем бесплатно! Интегрирование других трансцендентных функций.

    Обзор методов интегрирования основных видов интегралов. Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона—Лейбница.

    - М.: Наука, 1970, - 400 с.

    Определенный интеграл как функция своих пределов. Замена переменной в определенном интеграле. Упрощение интегралов, основанное на свойствах симметрии подынтегральных функций.

    Приближенное вычисление определенных интегралов. Вычисление пределов сумм с помощью определенных интегралов. Вычисление площадей в декартовых координатах. Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы контура. Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах.

    Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах. Вычисление площади поверхности вращения. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. § Неопределенный интеграл. Найдите неопределенные интегралы, применяя основные правила интегрирования. и дифференциальным уравнениям Приведены задачи для ..

    и представляет собой практикум по интегральному исчислению и методам.


    • Популярные ресурсы по этой теме!
    • Архив решенных нами задач по физике за апрель?
    • контурные карты география 9 класс гдз просвещение.
    • гдз 6 класс история средних веков крючкова.
    • гдз по математике 3 класс петерсон 2018.
    • Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения;
    • лесенка 9 класс геометрия мерзляк гдз.
    • решения. Интегральное исчисление, решения интегралов, вычисление интегралов. (замена переменной), интегрирование по частям задачи с решениями.

    Все предметы, с 1 по 11 классы

    Выберите класс

    Выберите класс, по которому вы ищете решебники!